Sistemas

Universidade Federal de Santa Catarina
Fundamentos Matemáticos da Informática

Estrutura Algébrica Estrutura algébrica é todo par composto de um conjunto não vazio e uma ou mais operações genéricas (adição, subtração, multiplicação, etc) em um conjunto A.
Notação: (A, *), onde * corresponde a uma operação qualquer.
Obs: O Conjunto A é designado por suporte da estrutura (A,*).

Classificação de uma Estrutura Algébrica

Para entendermos e classificarmos uma estrutura algébrica faz-se necessário o entendimento das propriedades de uma operação binária.
Comutatividade: Uma operação binária é comutativa quando, para quaisquer elementos a,b vale: a * b = b * a
Associatividade: Uma operação binária é associativa quando, para comutativa quando, para quaisquer elementos a,b e c vale:
(a * b)*c = a*(b * c)
Elemento Neutro: Uma operação Binária admite elemento neutro quando existe um elemento x onde: a * x = x * a = a
Elemento simetrizável: Uma operação Binária admite elemento simetrizável quando existe um elemento y que satisfaz a seguinte igualdade: a * y = x = w * a (onde x é o elementro neutro da operação)

Compreendendo estas propriedades, podemos classificar as estruturas algébricas em:

Grupóide: A operação binária não admite nenhuma das propriedades binárias previamente citadas, mas é uma operação interna;
Semigrupo: a operação binária admite a propriedade associativa;
Monóide: a operação binária é chamada de monoide quando admite a propriedade associativa e possui elemento neutro;
Grupo: todo monoide (admite associativa e possui elemento neutro) em que todos os elementos possuem simétrico, ou seja, um grupo é um monoide em que todos os elementos são invertíveis.
Exemplos: O monoide ( O monoide ( , *) não é um grupo já que o numero 0 não é invertível. Já o monoide (,*) é um grupo, todos os elementos tem simétrico. O monoide (, *) não é um grupo, mas o monoide (*, *) já constitui um grupo.
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