Estatistica

Alguns Modelos Probabil´ ısticos Discretos
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Distribui¸˜o de Bernoulli ca Muitos experimentos s˜o tais que os resultados apresentam ou n˜o uma determinada caraca a ter´ ıstica. Por exemplo:
1. uma moeda ´ lan¸ada: o resultado ou ´ cara, ou n˜o (ocorrendo, ent˜o, coroa); e c e a a 2. um dado ´ lan¸ado: ou ocorre face 5 ou n˜o (ocorrendo, ent˜o, umas das faces 1,2,3,4 ou e c a a
6);
3. uma pe¸a ´ escolhida ao acaso de um lote contendo 500 pe¸as: essa pe¸a ´ defeituosa ou c e c c e n˜o; a
4. uma pessoa ´ escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela ´ e e favor´vel ou n˜o a um projeto social. a a
Um experimento de Bernoulli ´ um experimento aleat´rio com apenas dois resultados e o poss´ ıveis; por conven¸˜o, um deles ´ chamado “sucesso” e o outro “fracasso”. ca e
Consideremos uma unica tentativa de um experimento aleat´rio, cujo resultado pode ser o sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja X: n´mero de sucessos em uma unica tentativa do experimento. u ´
X=

0,
1,

fracasso, com P (X = 0) = q = 1 − p sucesso, com P (X = 1) = p.

(1)

Defini¸˜o A v.a X que assume apenas os valores 0 e 1 com fun¸˜o de probabilidade p(x), ca ca tal que: p(0) = P (X = 0) = 1 − p = q e p(1) = P (X = 1) = p, ´ chamada vari´vel aleat´ria de e a o Bernoulli, e sua fun¸˜o de distribui¸˜o ´ dada por: ca ca e
P (X = x) = px q 1−x , x = 0, 1.
Caracter´
ısticas
• E(X) = p;
• V ar(X) = p(1 − p);
Exemplo: Uma urna cont´m 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. e Seja a v.a X: n´mero de bolas verdes. Determinar a fun¸˜o de distribui¸˜o de X, E(X) e u ca ca V ar(X).

2

Distribui¸˜o Binomial ca Este modelo fundamenta-se nas seguintes hip´tes: o 1. n provas independentes e do mesmo tipo s˜o realizadas, ou seja, n ensaios de Bernoulli; a 1

2. cada prova admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.
3. a probabilidade de sucesso em cada prova ´ p e de