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A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:
,[1]
em que : x é um número real; e é a base do logaritmo natural; é a unidade imaginária (número complexo); sen e cos são funções trigonométricas.
A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma em que ln é o logaritmo natural[2]
Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:
, onde "x" é um número real.
As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[3]:
, onde "z" é um número complexo.
Portanto, pela regra da cadeia: Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f": Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será:: Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função), Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

Prova utilizando série de Taylor
Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:
A expansão em série de Taylor de uma função analítica centrada em é representada como: com , onde Usando esse conceito de expansão e tomando em torno de , teremos: para todo com intervalo de convergência de
Em , na equação acima, obtém-se a expressão para o número , como uma soma de uma série infinita: Se admitirmos a validade de substituirmos por na equação obteremos: A primeira parte da soma da equação anterior () é a expansão do