Equivalência Lógica
DEFINIÇÃO:
Diz-se que uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q, se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.
• As proposições P e Q são ditas equivalentes e escrevemos P <=> Q
Exemplo:
A
B
A B
A AB
A B
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
A AB <=> A B
TEOREMA:
A proposição P é equivalente à proposição Q, isto é: P <=> Q se e somente se a bi-condicional: P Q (1) é tautológica.
Se as proposições P e Q são equivalentes, então têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bi-condicional (1) é sempre verdade, isto é, (1) é tautológica.
Reciprocamente, se a bi-condicional (1) é tautológica, então, a última coluna da sua tabela-verdade apresenta somente a letra V, e por conseguinte os valores lógicos respectivos das proposições P e Q são ambos verdade ou são ambos falsidade, isto é, estas duas proposições são equivalentes.
A AB <=> A B
A AB A B
A
B
A B
A AB
A B
A AB A B
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Os símbolos e <=> são distintos!
indica uma operação lógica
Aplicado ás proposições P e Q, resulta em uma nova proposição
<=> indica uma relação
Estabelece que a bi-condicional é tautológica
PROPRIEDADES:
Reflexiva: P <=> P
Simétrica: Se P <=> Q então Q <=> P
Transitiva: Se P <=> Q e Q <=> R, então P <=> R
ALGUMAS DAS EQUIVALÊNCIAS MAIS IMPORTANTES DA LÓGICA:
Leis da Comutatividade
P Q <=> Q P
P V Q <=> Q V P
Leis da Associatividade
(P Q) R <=> P (Q R)
(P V Q) V R <=> P V (Q V R)
Leis da Distributividade
P (Q V R) <=> (P QV (P R)
P V (Q R) <=> (P V Q (P V R)
Leis de Morgan
(P Q) <=> P V Q
(P V Q) <=> P Q
Leis da Idempotência
P P <=> P
P V P <=> P
Lei da Dupla Negação
(P) <=> P
Lei da Condicional
P Q <=> P V Q
Lei da Bi-condicional
P Q <=> (P Q) (Q P)
P Q <=> (P Q) V ( P Q)
Lei da Contraposição
P Q <=> Q P
Lei da