Implicação e Equivalência Lógica

Introdução Neste trabalho, serão mostrados os conceitos de implicação lógica e equivalência lógica, juntamente com suas aplicações, regra, relações e importância no estudo da lógica matemática.

IMPLICAÇÃO LÓGICA
1 Definição Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou relação de implicação) entre P e Q quando a proposição condicional P ® Q é uma tautologia. Notação: P Þ Q Portanto, dizemos que P Þ Q quando nas respectivas tabelas-verdade dessas duas proposições não aparece V na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F. Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica outra contradição. Exemplos: a) 3 = 2 + 1 Þ 3² = (2 + 1)². Podemos usar o símbolo Þ, pois a proposição condicional: 3 = 2 + 1 ® 3²= (2 + 1)² é verdadeira. b) Não podemos escrever que 3 > 2 Þ 3 > 4, pois a proposição condicional: 3 > 2 ® 3 > 4 é falsa.
Observação: Os símbolos Þ e ® têm significados diferentes: O símbolo Þ entre duas proposições dadas indica uma relação, isto é, que a proposição condicional associada é uma tautologia, enquanto ® realiza uma operação entre proposições dando origem a uma nova proposição p ® q (que pode conter valores lógicos V ou F).
2 Propriedades
2.1 Propriedade Reflexiva P(p,q,r,...) Þ P(p,q,r,...)
2.2 Propriedade Transitiva
Se P(p,q,r,...) Þ Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) Þ R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) Þ R(p,q,r,...)

3 Exemplificação p ^ q, p v q, p « q

A proposição p^q é verdadeira somente na primeira linha. Nesta mesma linha,