Equações Lineares em Métodos Numéricos

Equações Lineares

Neste texto é discutido à cerca da utilização dos chamados métodos iterativos para aproximar o vetor-solução (nx1) de um sistema de equações lineares, apesar de ter o método de Gauss-Jordan como direto para uma comparação com os iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel, afim de mostrar que estes últimos são mais precisos e menos trabalhosos. Dado um determinado sistema de n equações lineares, com n variáveis, o programa irá encontrar o vetor-solução n x 1 do sistema.

Para isto, detalhamos um exemplo a fim de deixar claro nossos objetivos e a utilização do software. Ainda expusemos as limitações envolvidas na execução do programa.

Palavras-chaves: variáveis, aproximação inicial, iteração, método, vetor solução.

Introdução

Desde o começo de nossa vida escolar nos familiarizamos a encontrar vetores-solução de equações lineares através de métodos diretos, como a Regra de Cramer, Eliminação de Gauss, Gauss-Jordan e decomposição LU. Contudo, para sistemas lineares com um número considerável de variáveis, encontraríamos dificuldades de encontrar o vetor-solução pelo número de operações necessárias, aumentando muito conforme aumenta o nº de variáveis, além de, apesar de chegar ao vetor-solução em alguns métodos, ocorrer problemas em termo de precisão. Por exemplo, um sistema linear com 5 equações, pelo método de Cramer seria necessárias 1.349 operações, por Eliminação de Gauss, 115, já utilizando o método de Gauss-jordan sem pivotação, apesar de ser necessário menos operações, seu vetor-solução possui um erro de precisão alto. No nosso caso específico a resolução de um sistema linear é dado por métodos computacionais e relacionam uma grande quantidade de variáveis, que caso tentássemos resolver “a mão” seria bastante trabalhoso, praticamente inviável. Contornamos estes problemas recorrentes através dos métodos iterativos.
Através dos chamados métodos iterativos (repetitivos) - os quais, partindo de uma aproximação inicial e