Equações diferenciais

Capítulo 6

INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo x ∈ I, tem-se: F ′ (x) = f (x) Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Exemplo 6.1. [1] Seja f (x) = x3 , então F (x) = F (x) = x4 é uma primitiva de f em R, pois F ′ (x) = x3 = f (x). 4

x4 + 5 é também uma primitiva de f em R, pois F ′ (x) = x3 = f (x). Na verdade, 4 x4 F (x) = + c, para todo c ∈ R é primitiva de f pois F ′ (x) = x3 = f (x). 4 [2] Seja f (x) = cos(x), então F (x) = sen(x) + c, para todo c ∈ R é uma primitiva de f . De fato, F ′ (x) = cos(x) = f (x). [3] Seja: f (x) = 1 x ∈ [a, b] 0 x ∈ [a, b]. /

F (x) é uma função contínua em todo R e F ′ (x) = f (x) se x ∈ (a, b). Logo, F é uma primitiva de f em (a, b).

Não existe função definida em todo R cuja derivada seja igual a f (x). Por outro lado, considere a seguinte função:  0 x 0, (a = 1) ln(a) 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. sec (u) du = tg(u) + c cosec2 (u) du = −cotg(u) + c sec(u)tg(u) du = sec(u) + c cosec(u)cotg(u) du = −cosec(u) + c √ du = arcsen(u) + c 1 − u2 20. 21. 22. 23.
2

du = arctg(u) + c 1 + u2 du = arcsec(u) + c u u2 − 1 √ senh(u) du = cosh(u) + c cosh(u) du = senh(u) + c sech2 (u) du = tgh(u) + c cosech2 (u) du = −cotgh(u) + c sech(u)tgh(u) du = −sech(u) + c cosech(u) cotgh(u)du = −cosech(u) + c √ √ du = argsenh(u) + c 1 + u2 du = argcosh(u) + c u2 − 1

eu du = eu + c sen(u) du = −cos(u) + c cos(u) du = sen(u) + c

du = −argsech(|u|) + c u 1 − u2 √

6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO

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Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da