equação exponencial

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Equação Exponencial
Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente. Exemplos,
2 = 32 ou 3 x − 2 = 27 .
Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. Somente a partir de bases iguais poderemos igualar os expoentes determinando o valor da variável: ou seja,
*
a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) sendo a ∈ R + e a ≠ 1 x Exercícios-exemplos. Resolva em IR as equações exponenciais a seguir:
a) 2 x = 128
Solução: decompondo em fatores primos 128 temos: 2 x = 2 7 ⇒ x = 7 ∴ S = {7}
1
81
Solução: 3 x = 3 − 4 ⇒ x = − 4 ∴ S = {− 4}

b) 3 x =

c) 8 x + 1 = 4 x + 2

( )

Solução: 2 3

x +1

( )

= 22

x+2

⇒ 2 3( x +1) = 2 2 ( x + 2 ) ⇒ 3 x + 3 = 2 x + 4 ∴ x = 1 ∴ S = {1 }

d) 2 x −1 + 2 x + 2 x +1 − 2 x + 2 + 2 x + 3 = 120
Solução: Sabemos que 2 x −1 + 2 x + 2 x +1 − 2 x + 2 + 2 x + 3 = 120 é igual a
2 x . 2 −1 + 2 x + 2 x . 2 1 − 2 x . 2 2 + 2 x . 2 3 = 120 colocando 2 x em evidência no 1° membro, teremos:
1

2 x 2 −1 + 1 + 2 − 2 2 + 2 3 = 120 ∴  + 1 + 2 − 4 + 8  . 2 x = 120
2

15 x
240
. 2 = 120 ∴ 15 . 2 x = 2 .120 ∴ 2 x =
∴
2
15

(

2 x = 16

)

∴

2x = 24

⇒

x=4

∴

S = {4 }

e) 2 2 x −3 − 3 . 2 x −1 + 4 = 0
Solução:
2 2 x . 2 −3 − 3 . 2 x . 2 −1 + 4 = 0

(2 ) . 1 − 3. 2 . 1 + 4 = 0
8
2 x 2

x

reduzindo ao mesmo deno min ador teremos :

(2 )

x 2

− 12 .2 x + 32 = 0 substituindo 2 x = y

2 x x

 y1 = 4 ∴ 2 = 4 ∴ 2 = 2 ⇒ x1 = 2 y 2 − 12 y + 32 = 0 ⇒ 
∴ S = {2,3}
 y 2 = 8 ∴ 2 x = 8 ∴ 2 x = 2 3 ⇒ x1 = 3


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Exercícios de Assimilação
1. Resolva em IR as equações exponenciais:

a ) 5 = 125 x b) 4

x −1

1
=
2

x

 2
e)   = 2,25
 3

f ) 27

3− x

c) 4 = 0,25 x 2
g)  
3

1
= x
81

d) 8

x −9

1
= 
2

x +1

3 x +1

=1

h) 100 x = 0,001

2. Resolva em IR as equações exponenciais:

( )

a) 2 x

x −1

d) 5 = 5 x =4

b) 5 2 x

x2