engenharia

Tabela de derivadas

Interpretação geométrica da derivada parcial

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

A técnica de Derivadas Parciais

A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante,enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante.

EX.5) Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).

EX.6) Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é:

Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy

Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y

dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz

Derivada de funções compostas

Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é

Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , onde x(t) = et e y(t) = t3 .
a) A função pode ser posta em função de t ,

F(x,y) = x2 + 3y –5, mas x(t)= et e y(t) = t3

F(t) = (et )2 + 3(t3 ) –5

F(t) = e2t +3t3 – 5

E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

b) Calcula-se pelas derivadas parciais

TEMOS: ASSIM:

Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação