Engenharia Elétrica

Quadratura de Gauss-Legendre
A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados.
Obs.: Onde n são pontos distintos utilizados.
Graficamente:

Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.
Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo:
˦{˲{ ˤ˲

˓# ˦{˲# { - ˓$ ˦{˲$ {

De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3.
Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:
#

˦{ˮ{ ˤˮ

#

˓# ˦{ˮ# { - ˓$ ˦{ˮ$ {

Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para
˧" {ˮ{

ŵ, ˧# {ˮ{

ˮ, ˧$ {ˮ{

ˮ $ e ˧" {ˮ{

Assim:
#

ŵ ˤˮ

#

ŵ . {.ŵ{

Chamaremos I

Ŷ

˓# ˧" {ˮ# { - ˓$ ˧" {ˮ$ {

˓# ŵ - ˓$ ŵ

ˮ%

#

#

ˮ ˤˮ

ˮ$
Ӱ
Ŷ

ŵ ŵ
.
Ŷ Ŷ

#
#

˓# ˧# {ˮ# { - ˓$ ˧# {ˮ$ {

Ŵ

˓# ˮ# - ˓$ ˮ$

Chamaremos II
#

#

ˮ $ ˤˮ

ˮ%
Ӱ
ŷ

#

ŵ ŵ
Ì
ŷ ŷ

Ŷ ŷ ˓# ˧$ {ˮ# { - ˓$ ˧$ {ˮ$ {

$
$
˓# ˮ# - ˓$ ˮ$

#

ŵ ŵ
.
Ÿ Ÿ

Ŵ

˓# ˧% {ˮ# { - ˓$ ˧% {ˮ$ {

%
%
˓# ˮ# - ˓$ ˮ$

#

Chamaremos III
#

#

ˮ % ˤˮ

ˮ&
Ӱ
Ÿ

#

Chamaremos IV
Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4:
˓# ŵ - ˓$ ŵ
˓# ˮ# - ˓$ ˮ$

Ŷ
Ŵ
Ŷ ŷ Ŵ

$
$
˓# ˮ# - ˓$ ˮ$
%
%
˓# ˮ# - ˓$ ˮ$

Cuja solução é:
ˮ#

.

ŵ

ŷ

ŵ

ˮ$

ŷ

˓#

˓$

ŵ

Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: x (1,b)

b

(-1, a)

a
-1

1

t

Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:
˲{ˮ{
˲{ˮ{
˲{ˮ{

˲" -

˲# . ˲"
{ˮ . ˮ" {
ˮ# .