engenharia civil

Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias
Introdução
Diversos problemas técnicos e científicos são descritos matematicamente por equações diferenciais que representam variações das quantidades físicas que os descrevem. Alguns exemplos de equações diferenciais são: dC A
(1) Reação química de 1a ordem A → B , descrita pela equação
= − kC A , na qual CA é a
←
dt concentração do reagente A, k a constante da reação e t o tempo decorrido desde o início da reação. (2) Descarga de um circuito elétrico contendo uma resistor em série com um capacitor, descrito dQ C pela equação V0 = R
+ , para a qual V0 é a tensão contínua de alimentação do circuito, dt Q dQ R a resistência, C a capacitância, Q a carga elétrica acumulada no capacitor e i = a dt corrente do circuito. dT &
(3) Condução de calor num material sólido, descrito pela equação de Fourier q = kA
, na qual dx & q é o fluxo térmico, k a condutividade térmica, A a área de secção transversal ao fluxo térmico, T a temperatura e x a coordenada espacial na direção do fluxo de calor.
(4) Pêndulo simples, descrito pela equação

d 2θ
2

=−

g sen θ , na qual θ é o ângulo formado pelo l dt pêndulo em relação ao eixo vertical, g a aceleração da gravidade, l o comprimento do pêndulo e t o tempo.
Dos exemplos citados, vemos que o grau (ou ordem) de uma equação diferencial pode variar. O grau de uma equação diferencial é definido pelo termo da equação que contém a derivada de maior ordem. Por exemplo, a seguinte equação diferencial y´ +x − 2 = 0 é uma equação diferencial de 1o grau porque a derivada y´ é de 1a ordem. Já a equação diferencial y ′′′ − 2 xy ′′ + 5 y ′ + y − x + 8 = 0 é uma equação diferencial de 3o grau porque o termo de derivada de maior ordem é de 3a ordem. Se a solução de uma equação diferencial y for uma função de uma única variável x, isto é, se y = y(x), então a equação diferencial é chamada de equação diferencial ordinária. Definição
Uma