DIDATICA DA MATEMATICA

Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação

Unidade 1 -DERIVADAS
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADAS
Velocidade num dado instante
Da Física, sabemos que quando uma partícula se movimenta segundo a equação horária s = f(t), onde s é a abscissa (posição) do ponto em que se encontra a partícula no instante t (s é uma função de t), a velocidade média do movimento entre dois instantes t 0 e t, que vamos indicar por Vm (t0; t), é dada por:

A velocidade (instantânea) no instante t0. v (t0), é definida pelo limite de Vm (t0; t) quando t tende a t0:

Exemplo
1.

Uma partícula movimenta-se segundo a equação horária s = 2t2 + 5t + 10, s em metros e t em segundos. Obter a velocidade:
a) no instante t = 1;
b) num instante qualquer t = t0.
Solução
a) À velocidade média entre os instantes 1 e t é:

A velocidade no instante t = 1 é:

Portanto, v(1) = 9 m/s.

Portanto, v(t0) = 4t0+ 5. Concluímos que a equação da velocidade do movimento é v(t)=4t+5.
Em particular, no instante t = 1, v(l)=4 • 1 + 5=9m/s.

A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

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Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f(x) admita uma reta tangente t num ponto P de abscissa o.

Vamos representar por

t

(

0)

o ângulo de inclinação da reta tangente em relação ao eixo x.

Da Geometria Analítica, sabemos que o coeficiente na angular da reta t, que vamos indicar por m t( dado por:

Se Q é um ponto qualquer do gráfico de , de abscissa x ≠ x0, a reta s = coeficiente angular da secante, que indicaremos por ms (x0; x), é dado por:

0),

é

é uma secante ao gráfico. O

Fazendo tender a
, isto é, imaginando P fixo e Q movimentando-se sobre o gráfico, aproximando-se de
P, observamos que a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tangente:

Neste caso, temos também:

Portanto, podemos colocar

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