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Alex é conhecido por seu poder vocal e estreou no mundo da música em 2002, nos Arctic Monkeys. Juntamente com Nick O'Malley, Matt Helders, Jamie Cook e Andy Nicholson, Alex frequentou a Stockbridge High School. Ganhou sua primeira guitarra no Natal em 2001, o que seria fundamental para a formação da banda.
Trabalhou em um bar onde bandas desconhecidas davam pequenos shows. Ele diz: "Realmente me irritava quando bandas vinham e diziam ‘nós temos CDs lá atrás para vender, três libras cada’ você pensa ‘F***-se, quem é que vocês pensam que são? ’". Deste modo o Arctic Monkeys começaram a distribuir em seus shows cópias grátis de seu CD demo, o que eventualmente os conduziu ao sucesso.
Uma das maiores influências líricas para Turner foi o poeta inglês John Cooper Clarke, que o inspirou a compor sobre situações observadas em seu cotidiano, característica essencial nas letras do Arctic Monkeys.1 Turner vem sendo comparado a Jarvis Cocker, por muitas das composições que escreve sobre sua própria vida e pelas coisas que tem acontecido àqueles que o rodeiam. Eles têm outras semelhanças, como por exemplo, o fato de ambos serem de Sheffield.
Em 2005, Alex foi considerado a quarta pessoa mais cool do planeta, e o homem mais cool do planeta também pela New Musical Express2 3 .
Em 2011 entrou para a Lista dos Mais