Derivadas

DERIVADA
Derivadas
1- Definição
As ideias que usaremos foram introduzidas no século XVIII por Newton e Leibnitz. Seja y  f (x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 1.
Seja P( x1 , y1 ) e Q( x2 , y2 ) dois pontos distintos da curva y  f (x) . Seja s a reta secante que passa pelos ponto P e Q. Considerando o triângulo retângulo PMQ, na Figura 1, temos que a inclinação da reta s (ou o coeficiente angular de s) é

tg 

y y  y1
 2
x
x2  x1 y Q

s

Y2

P α Y1
M

X1

a

X2

Figura 1

b

x

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor constante (Figura 2).
Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P. y P

Q

a

Figura 2

b

Definição: Dada uma curva y  f (x) , seja reta tangente à curva no ponto P é dado por:

x

P( x1 , y1 )

um ponto sobre ela. A inclinação da

1

DERIVADA
y
f ( x2 )  f ( x1 )
 lim
x0 x x2  x1 x2  x1

m( x1 )  lim

(I)

quando o limite existir.
Fazendo x 2  x1  x podemos reescrever o limite ( I ) na forma

m( x1 )  lim

x0

f ( x1  x)  f ( x1 )
x

( II )

Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P.
2- A Derivada de uma Função num Ponto
A derivada de uma função ponto f (x) no ponto x1 , denotada por f ' ( x1 ) , ( lê-se f

linha de x, no

x1 ), é definida pelo limite

f ' ( x)  lim

x0

f ( x  x)  f ( x)
x

, quando este limite existe.

Também podemos escrever

f ' ( x)  lim

x2  x1

f ( x 2 )  f ( x1 ) x 2  x1

Como vimos na seção anterior, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva

y  f (x) no ponto ( x1 , f ( x1 )) . Portanto, geometricamente, a y  f (x) no ponto x1 representa a inclinação da curva nesse ponto.

derivada da