Derivadas

Capítulo 4

DERIVADA
4.1 Introdução
Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos.
Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.

4.2 Reta Tangente
Seja:
f : D ⊂ R −→ R

uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0 , se tenha:
I ∩ (D − {x0 }) = ∅.

Considere P = (x0 , f (x0 )) e Qi = (xi , f (xi )) (i = 1, 2, 3......) pontos no gráfico de f , P = Qi ; seja r1 a reta secante que passa por P e Q1 ; seu coeficiente angular é: m1 =

f (x1 ) − f (x0 )
.
x1 − x0

Fixemos o ponto P e movamos Q1 sobre o gráfico de f em direção a P , até um ponto Q2 =
(x2 , f (x2 )) tal que Q2 = P ; seja r2 a reta secante que passa por P e Q2 ; seu coeficiente angular é: f (x2 ) − f (x0 )
.
m2 = x2 − x0
Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3......) vão se aproximando sucessivamente do ponto P
(mas sem atingir P ), ao longo do gráfico de f ; repetindo o processo obtemos r1 , r2 , r3 , ..., retas secantes de coeficientes angulares m1 , m2 , m3 , ..., respectivamente.
É possível provar, rigorosamente, que quando os pontos Qi vão se aproximando cada vez mais de P , os mi respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por mx0 .
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CAPÍTULO 4. DERIVADA

148 rn Q3

Qn

r3 r2 Q2

Q1

r1

f(x)

P

x0

xn

x3

x2

x1

Figura 4.1:

Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , f (x0 )).
Se
mx0 = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

existe, fazendo a mudança t = x − x0 , temos: f (x0 + t) − f (x0 )
.
t→0 t mx0 = lim

Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da