derivadas

LISTA DE EXERCÍCIOS - 3º PERÍODO
- ENG. CIVIL/AMBIENTAL Encontre

dy derivando implicitamente. dx 1) e xy + sen(2 x − 3 y ) = 0
2) x 2 sen( x + y ) + y 2 cos( x + y ) = 0 sen( x + y )
3)
=0 cos( x − y )
4) ax 2 + 2bxy + cy 2 = 0
5) sen 2 x + senx cos y + cos 2 y = 0
6) xseny + y cos x = 0
7) 1 + xy − ln(e xy + e − xy ) = 0
8) Se f ( x, y ) =

1 2 1 2 x + y ache o gradiente no ponto (4,3). Ache também a taxa de
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variação de f ( x, y ) na direção

9) Se f ( x, y ) =

π

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em (4,3).

1 2 1 2 x + y então ache o valor máximo direcional no ponto onde x = 1 e
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9

y = -2.

10) Se V(x,y,z) volts for o potencial elétrico num ponto (x,y,z) do espaço
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tridimensional e V ( x, y, z ) = ache: 2 x + y2 + z2
a) A taxa de variação de V no ponto (2, 2, -1), na direção do vetor 2i – 3j + 6k.
b) A direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de V em (2, 2, -1).

11) A temperatura é T(x,y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano xy e T ( x, y ) = 3 x 2 + 2 xy . A distância é medida em metros.
a) Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (3,-6) da placa.
b) Ache a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em (3, -6).
12) A equação da superfície de uma montanha é z = f ( x, y ) = 1200 − 3 x 2 − 2 y 2 onde a distância é medida em metros. O eixo x aponta para o leste e o eixo y para o norte.
Uma alpinista está no ponto correspondente a (- 10, 5, 850).
a) Qual a direção onde a subida é mais íngreme?
b) Se a alpinista se move na direção leste, ela está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
c) Se a alpinista se move na direção sudoeste , ela esta subindo ou descendo e qual a sua taxa?
d) Em que direção ela estará sobre a curva de nível?

Professor Luiz Gonzaga

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Cálculo 3