Derivadas

Derivadas
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.

Observe que quando x0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .

Ora, quando x0 → 0 , já vimos que o quociente y0 / x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente y0 / x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando x0 → 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b.

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então: f '(x0) = tgb

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto