Definição de vetores

Definição de vetor
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).
1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.

Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois: v = (7,12)-(1,2) = (6,10)
Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características. O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por v = (a,b)

Soma de vetores e suas propriedades
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por: v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores
1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²: v + w = w + v
3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²: u + (v + w) = (u + v) + w
4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
Ø + u = u
5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que: v + (-v) = Ø
Aplicações geométricas
Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por