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Esta tarefa vale 2 pontos e estará disponível das 08:00 horas do dia 24/05/2012 às 23:55 horas do dia 28/05/2012.
Enviem as resoluções no formato pdf.
Tarefa 3
Questão 1: Mostre que o conjunto de todas as matrizes 3x3 com entradas reais da forma com a multiplicação usual de multiplicação de matrizes, é um grupo.
[pic]
Questão 2: Seja G um grupo no qual vale a seguinte propriedade:
" Se a, b e c são elementos de G e ab=ca, então b=c."
Prove que G é um grupo abeliano.

Respostas 1
8. Grupo das Rota，c˜oes em R2
Uma rota，c˜ao em R3 ´e uma transforma，c˜ao linear Rθ : R3 → R3 cuja matriz em rela，c˜ao a base canonica de R3 ´e
_
A multiplica，c˜ao de matrizes de rota，c˜ao satisfaz a identidade Rθ.Rω = Rθ+ω. Por isto, o conjunto
SO2 = {Rθ | θ ∈ R} munido com a opera，c˜ao de multiplica，c˜ao de matrizes ´e um grupo abeliano. Segue ue SO2 e U1 sˆao grupos isomorfos.
[pic]

Resposta 2

5. Se ab = ac, então b = c? Sim ou não? Por que?

Tome a = 0. Assim, 0b = 0c = 0, independentemente de b = c ou b [pic]c.
2- Para provar que um conjunto G é grupo multiplicativo abeliano, devemos provar 4 propriedades:

1) a.(b.c) = (a.b).c, para quaisquer a, b e c pertencentes a G;
2) Existe um elemento e, pertencente a G, tal que
a.e = e.a, para todo a pertencente a G;
3) Para todo a pertencente a G, existe um elemento b pertencente a G tal que a.b = b.a = e (o elemento neutro);
4) a.b = b.a, para quaisquer elementos a e b do conjunto G.

Sejam: x = a + b√2 y = c + d√2 z = g + h√2 elementos de E.

1) x.(y.z) = (a + b√2).[(c + d√2).(g + h√2)] =
= (a + b√2).(cg + ch√2 + dg√2 + 2dh) =
= acg + ach√2 + adg√2 + 2adh + bcg√2 + 2bch + 2bdg +
+ 2bdh√2 =
= acg + 2adh + 2bch + 2bdg + (ach + adg + bcg + 2bdh)√2 que é um elemento de E.

2) e = 1 + 0.√2

3) O inverso multiplicativo de x = a + b√2 é x' = 1/(a + b√2) = (a - b√2)/(a² - 2b²) =
= a/(a² - 2b²) + √2.(-b)/(a² - 2b²), que é um elemento de E.

4) Para quaisquer x = a + b√2 e y = c +