cálculo

MAT-141: 1a Prova - FAU - 26/04/2011 - Prova Tipo A
GABARITO
Quest˜o 1 (2,5 pontos). Considere o pol´ a ıgono plano ABCDEF GHIJ representado na Figura 1
B
C
F
G
T


¢

0

  ¢


E
¢
 J
¢

¢ 
¢ 
D
B
¨
¢  ¨¨ E 
¢  ¨¨
¢ ¨ ¨
¨

I ¢
¢

A

H

Figura 1: Pol´ ıgono com as flechas para determina¸˜o de combina¸˜es lineares. ca co
Saiba que os lados AB, DE, F G e AJ medem 1 unidade de medida, os lados BC, CD, EF e IJ medem 2 unidades, e o lado HI mede 3 unidades.
Todos os angulos s˜o retos. Represente os vetores representados pelas flechas
ˆ
a
−→ −→ −→ −→ −→
− − − −
−
IC , ID , IE , IF e IG como combina¸oes linerares dos vetores represenc˜
− → −→
−
− tados pelas flechas AB e AJ .
SOLUCAO: Graficamente vemos que:
¸˜
−→
−
−→
−
−→
−
• IC = 1 AJ + 3 AB
−→
−
−→
−
−→
−
• ID = 1 AJ + 1 AB
−→
−
−→
−
−→
−
• IE = 2 AJ + 1 AB
−→
−
−→
−
−→
−
• IF = 2 AJ + 3 AB
−→
−
−→
−
−→
−
• IG = 3 AJ + 3 AB

.

1

Quest˜o 2 (2,5 pontos). Determine vetores w1 e w2 , tais que w = a w1 + w2 , w1 tem a mesma dire¸˜o de u e w2 ´ ortogonal a u, sendo que, em ca e uma base ortonormal, w = (1, 0, 5) e u = (2, 2, −3).
SOLUCAO: O vetor w1 ´ a proje¸ao ortogonal de w sobre o vetor u e
¸˜
e c˜ w2 = w − w 1 : w1 =

w·u
13
= − (2, 2, −3) =
2
u
17

w2 = w − w1 = (1, 0, 5) − −

−

26 26 39
,− ,
17 17 17

26 26 39
,− ,
17 17 17

=

.

43 26 46
, ,
17 17 17

.

Quest˜o 3 (2,5 pontos). Calcule os limites: a √
2x + x2 + 3
a) lim x→−1 (x2 − 1)2
b) lim

x→0

sen (13x) tg (5x2 − 10x)

SOLUCAO:
¸˜
√
√
√
2x + x2 + 3
2x + x2 + 3 (2x − x2 + 3)
√
a) lim
= lim x→−1 x→−1
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2 (2x − x2 + 3)
4x2 − x2 − 3
3(x2 − 1)
√
√
= lim
=
x→−1 (x2 − 1)2 (2x − x2 + 3) x→−1 (x2 − 1)2 (2x − x2 + 3)
1
3
3
√
√
= lim
= lim 2
·
2 − 1)(2x −
2 + 3) x→−1 (x x→−1 x − 1 2x − x x2 + 3

= lim

2

.



