Cálculo Numérico

Cálculo Numérico

3. Zeros Reais de Funções

Achar os zeros de uma função é achar os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 0. Em algumas funções o valor de x que satisfaz esta equação pode ser complexos. Neste estudo estaremos interessados apenas em achar valores reais que satisfazem a equação. Considerando o gráfico cartesiano de uma função, os zeros reais são os pontos das abcissas em que o gráfico toca o eixo Ox. Procuram-se métodos numéricos para avaliar os zeros de uma função nos casos em que a solução analítica é muito difícil ou impossível. Estes métodos produzem apenas um valor aproximado para esses zeros. A idéia destes métodos é (1) partir de uma aproximação inicial para a raiz e (2) em seguida “refinar” essa aproximação através de um Processo Iterativo.

3.1 Fase I: Isolamento de Raízes

O seguinte teorema ajuda no planejamento de um método de localizar raízes:
Teorema: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a, b]. Se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = , entre a e b que é raiz de f(x). Procure se convencer por esquemas gráficos da veracidade deste teorema.

1. Como poderia usar este teorema para localizar raízes de uma função? Descreva o processo.
2. O que pode acontecer se a variação dos valores da função for muito rápida em relação a pequenas variações de x?
3. Que outra condição deve ser acrescentada ao teorema para garantir que num dado intervalo há apenas uma raiz?
4. O que acontece com os casos em que o gráfico de f(x) toca o eixo Ox por tangenciamento?

Pode-se utilizar os recursos de uma planilha de cálculo para visualizar graficamente os zeros de uma função razoavelmente bem comportada.

A
B
C
1
Gráfico de função 2
Fator =
0,1

3
Const. =
0,5

4
N
x f(x) 5
-10
-0,5
-0,9093
6
-9
-0,4
-0,99957
7
-8
-0,3
-0,93204
8
-7
-0,2
-0,71736
9
-6
-0,1
-0,38942
10
-5
0
0
11
-4
0,1
0,389418
12
-3
0,2
0,717356
13
-2
0,3
0,932039
14
-1
0,4
0,999574
15
0
0,5
0,909297
16
1
0,6
0,675463
17
2
0,7
0,334988
18
3
0,8
-0,05837
19