Cálculo numérico - método da bisseção

CÁLCULO NUMÉRICO

MÉTODO DA BISSEÇÃO

Bruno Oliveira Leonardo Castro Mateus Pena

ITENS APRESENTAÇÃO:
1 – Introdução; 2 – Condição de Existência; 3 – Algoritmo; 4 – Exemplo; 5 – Método da Bisseção usando o MatLab; 6 – Conclusão.

1 – INTRODUÇÃO:

O método da bisseção consite em identificarmos dois pontos, tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, sendo então f(a)*f(b)<0. A ideia é diminuir o intervalo [a ; b] através de repetidas divisões ao meio, de tal forma que o valor de a tenda ao valor de b, ou seja, que a raiz x e que a função f(x) seja aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância.

 Em uma função, pelo gráfico verificamos em qual intervalo está

cortando o eixo X, assim neste ponto há uma mudança de sinal entre f(a) e f(b) e para fazer esta confirmação verificamos através da condição de existência para sabermos se o intervalo é válido.
 A condição para existência de uma raiz no intervalo é:  f(a) . f(b) < 0 f(b) y

f

a b f(a)

x

3 – ALGORITMO
O Algoritmo consiste em verificar a condição de existência e caso satisfeita fazer iterações até nos informar o valor CSI e o Erro encontrado, isto feito com uma certa quantidade de iterações definidas pelo usuário. O MatLab irá fazer verificações até encontrar o erro ou caso o número de iterações não tenha sido suficiente ele não acha esse erro.

Sabendo qual dos limites do intervalo é o positivo e o negativo, podemos substituir o X obtido encontrando o valor de f(x).

Se f(x) > 0, substituímos no intervalo aquele valor que apresenta f positivamente, se ocorrer de f(x) < 0 substituímos naquele que apresenta f negativamente.

Fazemos este processo reduzindo cada vez mais o intervalo e descobrindo o erro associado a cada iteração.

Temos que Ei=| Xi+1 – Xi |, onde Ei representa o erro.

3 – EXEMPLO:
• Calcular a raiz da equação f(x) = x³ - 3x² -2, com Erro menor ou igual

a 10-2, usando o método da bisseção;
• Primeiro verificamos em qual intervalo o gráfico toca o eixo X; • Podemos, para facilitar