Cálculo III apostila

Apostila – Integral definida

DATA:

UNIPLI-ANHANGUERA
2014.2
DISCIPLINA:

Cálculo III

PROFESSOR:

Fernando Villa Nova

Relação entre integral definida e indefinida
A integral definida é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções.

A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Se

for contínua em [a,b], então

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.
Teorema fundamental do cálculo
Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como: 𝑏

� 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) �
𝑎

𝑥= 𝑏
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑥= 𝑎

onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).
Se 𝑓 𝑒 𝑔 são funções contínuas no intervalo [𝑎 , 𝑏], então:
Propriedades da Integral:

a) ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 onde k é uma constante.
𝑏

𝑏

b) ∫𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏

𝑏

𝑏

c) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , onde 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏
𝑏

d)
e)
f)

𝑐

𝑏

𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏] ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
𝑏

𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏] ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑆𝑒 ∃ 𝑓(𝑎) ⇒ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎

𝑏

𝑏

2

Atividades
Utilizando as Propriedades de Integração e o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais a seguir:

1) ∫𝑎 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑏

2) ∫𝑎 𝑥𝑑𝑥
𝑏

3) ∫𝑎 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑏

4) ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
1
2

5) ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
−1
2

6) ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥
0
𝑥

7) ∫ 𝑥𝑑𝑥
2
0

8) ∫𝑎 (𝑥 2 + 𝑥)𝑑𝑥
𝑏

9) ∫ (𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥)𝑑𝑥
0
2

10) ∫ 5𝑥𝑑𝑥
1
3

11) ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
2
3
2

3

12) ∫ �√ 𝑥 − 𝑥 2 �𝑑𝑥
1
4

13) ∫ �
1

2 ln 𝑥
𝑥

4

� 𝑑𝑥

14) ∫ �√ 𝑥 +