75020790 Apostila Calculo III Derivada Aplicacoes

Aplicações da Derivada
1 – Interpretação cinemática da derivada

Aceleração. De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração: Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função horária do movimento do corpo.

A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definida por

Velocidade. Considere um corpo que se move em linha reta e seja s=s(t) a sua função horária, isto é, o espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é

A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por

definido por Δs = s(t + Δt)− s(t).
A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por:

A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempo t e t + Δt . Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, isto é, fazendo Δt →0 .
A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por:

A velocidade instantânea v(t) é a primeira derivada da função horária s(t).

Como v(t) = s´(t) podemos escrever a aceleração instantânea como a segunda derivada dos espaço em relação ao tempo. Assim a(t) = s´´(t).

Exemplos:
a) Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por s(t) = 12t − 2t 2 e no instante t = 0 ele inicia o movimento.
Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine:
i) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo[1,3]; ii) a velocidade do corpo no instante t = 1; iii) a aceleração média do corpo no intervalo de tempo[1,3]; iv) a aceleração do corpo no instante t = 1.

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Aplicações da Derivada
2 – Taxa de variação
Vimos na seção anterior que se s