Apostila de calculo iii

CURSOS: Engenharia Civil e Engenharia de Produção PROFESSORA: Sabrina Arsego Miotto SEMESTRE: 2012/02 E-MAIL: [e-mail]

CÁLCULO III

1

Seja bem-vindo!

O foco do nosso estudo esse semestre são as equações diferenciais. Para isso, faz-se necessário o domínio das técnicas de integração. Portanto, faremos inicialmente uma retomada dos principais tópicos vistos no semestre passado e após abordaremos o tema central da nossa disciplina.

A seguir, temos um pensamento de Goethe:

“Quando uma criatura humana desperta para um grande sonho e sobre ele lança toda a força de sua alma, todo o universo conspira a seu favor”.

Inspire-se nessa frase e faça acontecer o seu sonho de tornar-se engenheiro. Conte comigo!!!

2

INTEGRAIS E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO INTEGRAL INDEFINIDA
Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de uma função f(x) se F ' ( x ) = f ( x ) para qualquer x no domínio de f. O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x, denotada por

∫ f (x )dx .

∫
a)

é o símbolo de uma integral. A função f é o integrando de uma integral e x é a variável de integração.

Exemplos: 1) Calcule as integrais:

∫ 2dx ∫
1
3

b)

dx

x

c)

∫e

( x −2)

dx

d)

∫ sen(2x )dx

e)

∫x

2x
2

+4

dx

f)

∫ (x + 1) xdx
2 4

g)

∫ xsen( x )dx

h)

∫x

2

cos(3 x )dx

3

Exercícios: 1) Calcule a integral de: a)

∫ b) ( x + 5 x + 6)dx ∫ c) (senx + x )dx ∫ 3s + s + 1 d) ∫ s dx e) e dx ∫ 1  f) cos x dx ∫ 3 
3dx
2
2 5

3x

∫ 7x − 1dx h) ∫ x − 1xdx xdx i) ∫ 1 − x dx j) xe dx ∫ l) x sec xdx ∫ m) (x − 5 x )e dx ∫
g)
2
2
−x

2

2

x

Gabarito:
a)

3x + C x 3 5x 2 + + 6x + C 3 2

g)

2 21

(7 x − 1)3

+C

b)

h)

1 3

(x

2

−1

)

3

+C

x2 +C 2 3 1 1 − 3 − +C d) − 2 2s 3s 4s 4 1 e) e 3 x + C 3 1  f) 3sen  x  + C 3 
c) − cos x +

i) − 1 − x 2 + C j) − xe − x − e − x + C l) xtgx + ln cos x + C m) x 2