Cálculo II Resumo Teórico área 2

PROF. GUSTAVO VIEGAS
MATEMÁTICA

RESUMO TEÓRICO
Cálculo 2 - Área 2
Coordenadas polares

Cardioide (a > 0)

Um ponto fica identificado por suas coordenadas (r, ).
Definimos (– r, ) = (r,  + π).

Como x = rcos(), y = rsen(), o que nos dá
+
= , podemos passar uma equação de coordenadas cartesianas para polares.

r = a + asen()

r = a – asen()

r = a – acos()

r = a – acos()

Reta horizontal y = a:

rsen() = a

Integrais duplas

Reta vertical x = a:

rcos() = a

Se z = f(x,y) é uma função positiva para todo (x,y) numa região R, então o volume do cilindro limitado pelo gráfico de f e o plano xy é

Círculo (a > 0)

r=a

r = acos()

r = – acos()

A área de uma região R é

Se R é uma região limitada acima por y = abaixo por y = (x), para a  x  b, r = asen()

(x) e

r = – asen()

Rosácea (a > 0)

Se T é uma região limitada à direita por x = esquerda por x = (y), para c  y  d, r = acos(2)

(y) e à

r = acos(3)

Em coordenadas polares o elemento de área é dA = rdrd.

r = asen(2)

r = asen(3)

1/2 www.gustavoviegas.com Coordenadas cilíndricas e esféricas

Integrais triplas

Coordenadas cilíndricas

Se (x, y, z) é a função densidade de um sólido S, então a massa de S é

Um ponto fica identificado por suas coordenadas (r, , z), com x = rcos(), y = rsen().



Coordenadas esféricas
Um ponto fica identificado por suas coordenadas (, , ), com x = sen()cos(), y = sen()sen() e z = cos().

O volume de um sólido S é

Em coordenadas cartesianas dV = dzdydx
Em coordenadas cilíndricas, dV = rdzdrd.
Em coordenadas esféricas dV =  sen()ddd.
Integral de linha

Sólidos importantes
Cartesianas

O trabalho realizado pelo campo = f(x, y) + g(x, y) sobre uma partícula que percorre a curva C é

Cilíndricas
A integral pode ser calculada se tomarmos parametrização (t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, da curva C.

Esféricas
=a

Cartesianas

a

Teorema de Green
Seja R uma região limitada por uma curva C simples, fechada C e com orientação positiva. Se = f(x, y)