correlatas

PROMAT - Exame de Qualificação 2012-1
1.
(10pts) Um corpo está contido num ambiente de temperatura constante. Decorrido o tempo
(em minutos), seja ( ) a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a
Lei do Resfriamento de Newton, ( ) é uma função decrescente de , com a propriedade de que um decréscimo relativo
( )

(
( )

)

no intervalo de tempo depende apenas da duração desse intervalo (mas não do momento em que essa observação se iniciou). Isto posto, responda à seguinte pergunta:
Num certo dia, a temperatura ambiente era de 30o. A água, que fervia a 100 o numa panela, cinco minutos depois de apagado o fogo ficou com a temperatura de 60o. Qual era a temperatura da água 15 minutos após apagado o fogo?

2.
(a) (5pts) Dado um número
, quanto medem os lados do retângulo de perímetro mínimo cuja área é ?
(b) (10pts) Justifique matematicamente por que não se pode responder o item (a) se trocarmos “mínimo” por “máximo”.

3.
Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes.
(a) (10pts) Se a moeda for lançada 4 vezes, qual é a probabilidade de que o número observado de caras seja ímpar? E se a moeda for lançada 5 vezes?
(b) (5pts) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se observar um número ímpar de caras em lançamentos da moeda.
(c) (10pts) Demonstre, utilizando indução finita, a conjectura do item (b).

4. é um quadrado, é o ponto médio do lado
Os segmentos e cortam-se em .
(a) (5pts) Mostre que

é o ponto médio do lado

.

.

(b) (5pts) Calcule a razão
(c) (5pts) Se

e

.

calcule a área do quadrilátero

.

Obs: Para mostrar os itens (b) e (c) você pode usar o resultado do item (a) mesmo que não o tenha demonstrado.

5.
Na figura abaixo, é um cubo de aresta 1. e são arestas e a face está contida em um plano horizontal . Seja o tetraedro
. Seja um ponto da aresta
(diferente de e de ) e o plano paralelo a que passa por . A intersecção de