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PARÁBOLA
Definição:
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Elementos da parábola:

Equação reduzida de eixo horizontal e vértice na origem:
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
Exemplos:
1-O gráfico cartesiano abaixo representa uma função g(x) = 2x2 + kx + m, em que k e m são números reais.

O resultado de m + k é igual a:
(A) −26.
(B) −14.
(C) −12.
(D) −8.
(E) −6.
Resolução

m = -14

xV = (x' + x'')/2 = - b/2a
(-1 + 7)/2 = - k/2.2
3 = -k/4 k = -12

m + k = -14 -12 = -26

ELIPSE
Definição:
Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.
Elementos da elipse:
Elipse com focos