Condução calor

Separação de Variáveis Condução de calor em uma barra
Equações diferenciais parciais básicas de condução de calor, propagação de ondas e teoria de potencial estão associadas a três tipos distintos de fenômenos: processos de difusão, processos oscilatórios e processos independentes do tempo ou estacionários. As equações diferenciais parciais cujas aplicações são mais significativas e variadas são as equações lineares de segunda ordem. Todas essas equações podem ser classificadas em três tipos: a equação de calor, a equação de onda e a equação do potencial. O método de separação de variáveis é o método sistemático mais antigo, tendo sido usado por D´Alembert, Bernoulli e Euler, em torno de 1750, em suas investigações sobre ondas e vibrações. É um método muito importante e de uso freqüente. Para mostrar como o método de separações de variáveis funciona, vamos considerar, um problema básico de condução de calor em um corpo sólido.

Vamos considerar um problema de condução de calor em uma barra de seção reta uniforme feita de material homogêneo. Escolheremos o eixo dos x de modo a formar o eixo da barra de modo que x = 0 e x = L correspondem às extremidades da barra. Suponhamos, ainda, que os lados da barra são perfeitamente isolados, de modo que não há transmissão de calor aí.

u (x, t)

x=0

x=L

A variação de temperatura na barra é governada pela equação de calor.

∂ 2u ( x, t ) ∂u ( x, t ) α = , 2 ∂x ∂t
2

0 < x < L,

t>0

Onde α 2 é uma constante conhecida como difusividade térmica.

Vamos supor que a distribuição inicial de temperatura na barra é dada

u ( x,0) = f ( x),

0 ≤ x ≤ L,

Onde f é uma função dada. As extremidades da barra são mantidas a temperaturas fixas: a temperatura T1 em x = 0 e a temperatura T2 em x = L. Vamos supor que T1 = T2= 0.

u (0, t ) = 0,

u ( L, t ) = 0

t > 0,

O problema fundamental da condução de calor é encontrar u(x,t) que satisfaz a equação diferencial para 0 < x < L e para t > 0, a condição