CN Aula21 22

5 Integra¸c˜ao Num´erica
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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5. Integra¸c˜ao Num´erica
Se uma fun¸c˜ ao f (x) ´e cont´ınua em um intervalo [a, b] e sua primitiva F (x) ´e conhecida, ent˜ ao b f (x) dx = F (b) − F (a) a em que F (x) = f (x).
➪ Por outro lado, nem sempre se tem F (x) e em alguns casos, a fun¸c˜ ao a ser integrada
´e dada por meio de tabela de pontos. Neste caso, torna-se necess´ aria a utiliza¸c˜ ao de m´etodos num´ericos.
➪ A id´eia b´ asica da integra¸c˜ ao num´erica ´e a substitui¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f (x) por um polinˆ omio que a aproxime no intervalo [a, b]. Assim o problema fica resolvido pela integra¸c˜ ao de polinˆ omios, o que ´e trivial de se fazer.

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5.1 F´ormulas de Newton-Cotes

Neste caso, o polinˆ omio que interpola f (x) o faz em pontos igualmente espa¸cados de
[a, b].
F´
ormulas fechadas: x0 = a, xn = b e n b

f (x) dx = a Ai f (xi ) i=0 sendo Ai coeficientes determinados de acordo com o grau do polinˆ omio aproximador.

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5.1.1 Regra dos Trap´ezios
A integral de f (x) no intervalo [a, b] ´e aproximada pel ´ area de um trap´ezio. b f (x) dx ≈ a h
[f (x0 ) + f (x1 )] = IT .
2

A aproxima¸c˜ ao de f (x) pela f´ ormula de Lagrange ´e p1 (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) x − x1 x − x0 com L0 (x) = e L1 (x) =
, logo: x0 − x1 x1 − x0 p1 (x) =

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x − x0 x − x1 f (x0 ) + f (x1 )
−h
h

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5.1.1 Regra dos Trap´ezios: Estimativa do erro
Sabemos que f (x) = p1 (x) + E(x).
Como o erro de interpola¸c˜ ao ´e f (n+1) (ξx )
En (x) = (x − x0 ). . . . .(x − xn )
,
(n + 1)! temos: E(x) = (x − x0 ).(x − x1 )

f (ξx )
,
2

ξx ∈ (x0 , x1 ).

Logo, f (x) = p1 (x) + (x − x0 ).(x − x1 )

f (ξx )
.
2

Integrando f (x) em [x0 , x1 ]: x1 x1

f (x) dx = x0 x1