CN Aula23 24

5 Integra¸c˜ao Num´erica
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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5.1.3 Regra 1/3 de Simpson
´ obtida aproximando-se a fun¸c˜
E
ao f (x) um por um polinˆ omio interpolador de 2o grau, p2 (x), que ´e dado pela f´ ormula de Lagrange: p2 (x) = L0 (x)f (x0 ) + L1 (x)f (x1 ) + L2 (x)f (x2 ) em que
2

Li (x) = j=0 (x − xj )
(xi − xj )

j=i

com i = 0, 1, 2.

x0 = a, x1 = m e x2 = b a+b 2 x0 − x1 = −h,

m = x1 =

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C´ alculo Num´ erico x0 − x2 = −2h,

x1 − x0 = h,

x1 − x2 = −h,

x2 − x0 = 2h,

x2 − x1 = h.

2012

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5.1.3 Regra 1/3 de Simpson p2 (x) =

(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 ) f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 )
(−h)(−2h)
(h)(−h)
(2h)(h)
x2

b

f (x) dx ≈

f (x) dx = a =

p2 (x) dx

x0

f (x0 )
=
2h2
+

x2

f (x2 )
2h2

x2 x0 x2

x0

f (x1 )
(x − x1 )(x − x2 ) dx − h2 x2

(x − x0 )(x − x2 ) dx x0 (x − x0 )(x − x1 ) dx x0 h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )].
3

Logo b x2

f (x) dx ≈

f (x) dx = a Wemerson D. Parreira (UCPel)

x0

h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )]
3

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5.1.3 Regra 1/3 de Simpson: Estimativa do erro
Para estimativa do erro usamos a rela¸c˜ ao b

x2

x2

a

R2 (x) dx

p2 (x) dx +

f (x) dx = x0 x0

Assim, b ES =

b

(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )

R2 (x) dx = a a

f (ξx ) dx 3!

An´ alogo ao c´ alculo realizado para Regra dos Trap´ezios podemos estimar o erro usando h5 max |f iv (x)|
|ES | =
90 x∈[a,b]
(b − a)5 b−a 5
Considerando h =
⇒h = podemos usar
2
32
(b − a)5
|ES | = max |f iv (x)|
2880 x∈[a,b]

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5.1.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida

➪ Tome h =

b−a
2n

=⇒ h = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , m), para m = 2n =⇒ m ´e par.

➪ Aplica-se a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x0 , xm ] com x0 , x1 , . . . , xm igualmente espa¸cados.

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