Cap 10. Guidorizzi vol 4

CAPÍTULO 10
Exercícios 10.2 dx dx ϭ 1 ϩ x 2 , obtemos ϭ sec 2 t na equação dt dt ù ␲ ␲é sec2t ϭ 1 ϩ tg2t para todo t no intervalo úϪ , ê, logo, x ϭ tg t é solução da equação û 2 2ë dada. dx dx ϭ 0 na equação
c) Substituindo x (t ) ϭ 4 e ϭ t ( x 2 Ϫ 16), resulta 0 ϭ 0 para todo dt dt t, logo, a função constante x(t) ϭ 4 é solução da equação dada. dy dy
2
2 ϭ xy, ou seja, y ϭ e x 2 / 2 é solução de ϭ xe x / 2 e daí
e) Sendo y ϭ e x / 2 temos dx dx dy ϭ xy. dx 2. a) Substituindo x ϭ tg t e

Exercícios 10.3
1. a) A função constante x(t) ϭ 0, t qualquer, é solução. Para x 0, separando as dx 2 t2 ϭ t dt. Daí, ln x ϭ ϩ k1, ou seja, x ϭ k2 e t / 2 , onde variáveis, vem x 2 k 2

2

2

k2 ϭ e 1 Ͼ 0. Segue que x ϭ k2 e t / 2 ou x ϭϪk2 e t / 2 . Então, x ϭ k2 e t / 2 , k qualquer, é a família das soluções da equação dada. Observe que para k ϭ 0 temos a solução constante x(t) ϭ 0. dy ϭ y 2 Ϫ 4 e que dx satisfaça a condição y(1) ϭ 2. A função constante y(x) ϭ 2, x ʦ ‫ ,ޒ‬resolve o problema, pois é solução da equação e satisfaz a condição dada.

2. b) Queremos uma função y ϭ y(x) que seja solução da equação

d) As funções constantes y(x) ϭ 2 e y(x) ϭ Ϫ2 podem ser descartadas pois não satisfazem a condição dada y(0) ϭ 1. Para y Ϯ2, separando as variáveis, obtemos dy dy yϪ2 1 ϭ dx. Temos
. Tendo em vista a condição y(0) ϭ 1, ϭ ln
2 Ϫ4 y2 Ϫ 4 y yϩ2
4
podemos supor 0 Ͻ y Ͻ 2. As soluções da equação satisfazendo esta condição são dadas
1 2Ϫy
2Ϫy
implicitamente pelas equações ln ϭ x ϩ k que é equivalente a ϭ e 4 x e 4k .
4 yϩ2 yϩ2 ò

6 Ϫ 2e 4 x
1
A condição y(0) ϭ 1 será satisfeita para e 4 k ϭ . A solução y ϭ resolve o
3 ϩ e4 x
3
problema.
3. Separando as variáveis e integrando, obtemos ␭ln V ϭ Ϫln p ϩ k e daí segue ln(V␭ p) ϭ k. Tendo em vista a condição inicial, resulta ln (V1␭ p1 ) ϭ k. Então,

V ␭ p ϭ V1␭ p1 para todo p Ͼ 0. dy ϭ ␣y 3 , sendo ␣ o coeficiente de dx 1