calculo

DERIVADA

TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

Derivada

COMO MEDIMOS VELOCIDADE MÉDIA?
A velocidade média de um objeto ao longo de um determinado percurso é o deslocamento total do objeto (∆s) dividido pelo tempo gasto no percurso (∆t).

Isso não significa que o objeto manteve a mesma velocidade ao longo de todo o percurso.

Podemos medir velocidade instantânea?

TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

1

Derivada

LANÇAMENTO VERTICAL
Qual é a velocidade em t=2s?

v= t (s)

h (m)

0

0

1

25

2

40

3

45

4

40

5

25

6

0

∆s s2 − s1
=
∆t t 2 − t1

v12 =

40 − 25
= 15m / s
2 −1

v 23 =

45 − 40
= 5m / s
3−2

A velocidade em t=2s deve estar entre 5m/s e 15m/s.

TE203 – Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

Derivada

LANÇAMENTO VERTICAL
Se tomarmos intervalos cada vez menores próximos de t=2s: t (s)

h (m)

1,9

38,95

2

40

2,1

40,95

t (s)

h (m)

1,99

39,90

2

40

2,01

40,10

t (s)

h (m)

1,999

39,99

2

40

2,001

40,01

v = 10,50m / s v = 9,50m / s

v = 10,05m / s

Quanto menores ficam os intervalos ao redor de t=2s, mais as velocidades médias se aproximam de 10m/s.

Escolher intervalos arbitrariamente pequenos é chamado de tomar o limite.

v = 9,95m / s

v = 10,01m / s v = 10,00m / s

A velocidade instantânea em um instante t é dada pelo limite da velocidade média ao longo de um intervalo, quando esse intervalo se encolhe cada vez mais ao redor de t.

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2

Derivada

LANÇAMENTO VERTICAL
50

Velocidade média entre t=2s e t=3s:

45
40

Altura (m)

35
30

v=

25
20

∆s 45 − 40
=
= 5m / s
∆t
3−2

15
10

v=

5
0

0

1

2

3
Tempo (s)

4

5

∆s
= inclinação
∆t

6

A velocidade média ao longo de qualquer intervalo é a