calculo

FACULDADE PITÁGORAS – CAMPUS GUARAPARI

Engenharia ......................
2014/01

..º Período

LISTA DE ATIVIDADES 4 - INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Disciplina: Cálculo II
Professora: George Amorim
Aluno(a):

INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Ocorre quando tivermos no integrando um radical dos tipos: √
Sendo: um número real positivo, uma variável.
Então fazemos a seguintes substituições
 √
[
]


√



√

]

[
[

[

[

[

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA: CASO I (

 1  x dx
 1  (1.sen ) 1. cos d
 1  sen  .1. cos d
 cos  .1. cos d
 cos  .1. cos d
 cos  .d

,√

,√

)

2

2

2

2

2

1  cos 2
 2 d
1
cos 2
 2 d   2 d
 1
 sen 2
2 4
 1
 2.sen . cos 
2 4
 1
 .sen . cos 
2 2
1
1 arcsenx  .x. 1  x 2
2
2
1
x. 1  x 2 arcsenx 
c
2
2

Pitágoras x 1 x  1.sen

sen 

dx  1. cos d
Identidade s Tigonométr icas sen 2  cos 2   1
1  cos 2
2
sen2  2.sen . cos 

cos 2  

Utilizando

Integração

por

Substituiç ão

1
1
du
. cos 2d   cos u

2
2
2
1 1
1
1
 . . cos udu  senu  sen2
2 2
4
4

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA: CASO II (

 1  x dx
 1  (1.tg ) 1. sec d
 1  tg  .1. sec d
 sec  .1. sec d
 sec . sec d
 sec  .d
2

2

2

2

2

2

)

Pitágoras x 1 x  1.tg 

tg  

dx  1. sec 2 d

2

2

3

1
1
sec  .tg   ln sec   tg 
2
2
1
1
1  x 2 .x  ln 1  x 2  x  c
2
2

Identidade s Tigonométr icas sen 2  cos 2   1
Logo : tg 2  1  sec 2  tg 2  sec 2   1
Utilizando

 sec

3

Integração

por

Partes

 .d   sec  . sec 2 d

u  sec  du  sec  .tg d dv  sec 2 d v  tg 

 sec  .d  sec .tg   tg . sec .tg d
 sec  .d  sec .tg   tg  . secd
 sec  .d  sec .tg   (sec   1).secd
 sec  .d  sec .tg   sec   secd
