Calculo

A CONSTANTE DE EULER
DATA DE ENTREGA: 27/10/2002
A constante de Euler ´e definida como
(1)
= lim n!1 (Hn − log n), onde Hn ´e o n-´esimo n´umero Harmˆonico:
(2) Hn = 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
=
X
1kn
1 k , e log denota o logaritmo natural. Sabe-se que
(3)
= 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 . . .
Neste EP, vocˆe deve determinar o valor de o mais precisamente poss´ıvel.
Vocˆe deve implementar as seguintes duas id´eias, no m´ınimo.
M´etodo “direto”. Certamente, o m´etodo mais f´acil ´e determinar aproxima
¸c˜oes para calculando Hn − log n para valores grandes de n. Quantas casas decimais de vocˆe consegue determinar dessa forma? (Compare seu resultado com (3).)
A f´ormula da soma de Euler. Em 1732, Euler publicou um m´etodo importante para estimar somas. Este m´etodo, aplicado a (2), fornece que, para todo m e n  1 inteiros, temos
(4) Hn = log n + +
1
2n
−
X
1km
B2k
2kn2k + m,n
B2m+2
(2m + 2)n2m+2 , onde m,n ´e um n´umero entre 0 e 1, e os Bj s˜ao os n´umeros de Bernoulli:
B0 = 1, B1 = −
1
2 B2 =
1
6, B4 = −
1
30, B6 =
1
42, . . . e B3 = B5 = B7 = · · · = 0.
Os n´umeros de Bernoulli satisfazem a equa¸c˜ao
(5)
X
0jm
 m + 1 j 
Bj = 0, para todo inteiro m  1.
Fixe m, como m = 2 e m = 3, e desenvolva explicitamente a equa¸c˜ao (4).
Fixado m, obtenha aproxima¸c˜oes para usando (4) para valores apropriados de n. (Vocˆe consegue prever valores apropriados para n em