Calculo i

Cálculo II – Primeira Prova

QUESTÃO 1 (7 pontos)
A função [pic]é tal que [pic]. Com base nessas informações: (a) escreva a equação da função [pic]; (b) determine o valor de [pic] quando [pic]; (c) escreva a equação da tangente ao gráfico de [pic]no ponto de abscissa [pic].

Solução

a) Determinação da função [pic]: [pic] Como [pic], podemos escrever:

[pic] . Com isso, [pic].

Por sua vez, [pic]. Usando a condição [pic], temos: [pic].

b) Para calcular o valor de [pic] quando [pic], fazemos:
[pic].
c) A equação da tangente é da forma [pic], em que [pic] e [pic]. Assim, a equação da tangente é: [pic].

QUESTÃO 2 (7 pontos)

O gráfico abaixo apresenta a função [pic].
[pic]
Com base nessas informações: (a) determine a função [pic]sabendo que [pic]; (b) escreva a equação da tangente ao gráfico de [pic]no ponto [pic] e desenhe essa reta no gráfico acima.

Solução
a) Para encontrar a função [pic], fazemos: [pic] Usando a condição inicial [pic], temos: [pic] Desse modo, a função é [pic].
b) A equação da tangente é da forma [pic]. Como [pic], [pic]e o ponto de tangência é [pic]. Além disso, [pic]. A equação da tangente é: [pic]. Esta reta está desenhada no gráfico acima.

QUESTÃO 3 (7 pontos)

A velocidade de uma partícula que se move sobre uma reta horizontal é dada, em metros por segundo, pela função [pic]. Com base nessas informações: (a) determine o deslocamento dessa partícula durante o intervalo dado; (b) calcule a distância percorrida pela partícula durante os dez primeiros segundos; (c) estabeleça em que intervalo a partícula se move para a esquerda; (d) esboce o gráfico da função velocidade e o da função aceleração na mesma tela.

Solução
Começamos por determinar a função posição e a função aceleração. Para achar a função posição, fazemos: [pic]. Por seu lado, a função aceleração é: [pic].

Determinamos, também, a variação de sinal da função