Calculo I

Exerc ́ıcio 1.1
Em cada um dos itens abaixo responda se a afirma ̧c ̃ao ́e verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira esboce as id ́eias de uma demonstra ̧c ̃ao e se for falsa dˆe um contra-exemplo:
( ) Cada ponto da reta real
R
pode ser representado por uma decimal peri ́odica.
Exerc ́ıcio 6.1
Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos
A
e
B
distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km largura. Do ponto
A
at ́e um ponto
C
na margem oposta, a constru ̧c ̃ao ser ́a feita sob a ́agua e de
C
at ́e
B
, a constru ̧c ̃ao ser ́a feita `a superf ́ıcie. Sabendo-se que o custo da constru ̧c ̃ao sob a ́agua ́e 4 vezes o custo `a superf ́ıcie, qual ́e a localiza ̧c ̃ao do ponto
C
para que o custo total da obra seja o menor poss ́ıvel?
Exerc ́ıcio 6.2
Inscreva numa esfera dada:
a) um cilindro de ́area lateral m ́axima.
b) um cone de volume m ́aximo.
c) um cone de ́area lateral m ́axima.
Exerc ́ıcio 6.3
Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um muro. Sabendo-se que o fazendeiro possui l metros de tela, dimensionar o galinheiro de modo que este possua espa ̧co m ́aximo.
Exerc ́ıcio 6.4
Um vitral tem o formato de um retˆangulo encimado por um semi-c ́ırculo. O vidro utilizado na parte semi-circular ́e menos transl ́ucido, de sorte que a quantidade de luz que passa por unidade de ́area ́e
2
/
3 do permitido pelo vidro da parte retangular. Sendo o per ́ımetro do vitral fixado em 6 m , calcule as medidas do vitral que permita maior passagem de luz.
Exerc ́ıcio 6.5
Encontrar um ponto do gr ́afico de f ( x ) = (1 + x 2
)
−
1
, de modo que a reta tangente ao gr ́afico de f , nesse ponto, tenha coeficiente angular m ́aximo.
Exerc ́ıcio 6.6
Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um peda ̧co de cartolina de 32 cm por 42 cm , retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimens ̃oes, de