Calculo I Texto E Exercicios Derivada 1

UNIFACS - CÁLCULO I
Prof. Adelmo R. de Jesus

I. A NOÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Dada uma função y=f(x) e um ponto fixo xo, definimos a derivada de uma função em xo como o limite das taxas de variação médias dessa função.
Em símbolos, temos o seguinte:
x = x-xo variação de x
y = f(x)-f(xo) variação de y=f(x) taxa de variação média da função f, no ponto xo
Definição: Tendo essas taxas de variação médias, definimos a derivada da função f em xo como o limite , que é a taxa de variação instantânea dessa função, no ponto xo.

II. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA

representa o coeficiente angular (declividade) da reta tangente ao gráfico de y=f(x), que passa no ponto (xo, f(xo)).

Exemplo 1: Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)=x2+2 no ponto xo=1, como na figura ao lado.
Solução: Para x=1 temos y=12+2=3. Logo, o ponto de tangência é (1,3).
Como a equação da reta é y-yo=a(x-xo) só falta determinar o valor do coeficiente angular a. Como sabemos, este valor a é igual a f´(xo).
Como f(x) = x2+2 temos f´(x)=2x.
Logo, k=f´(1) =2.1=2
Finalmente, temos y-3=2(x-1).
Efetuando os cálculos, ficamos com a equação y=2x+1.

Exemplo 2: Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função, no ponto xo=1.
Solução: Como já vimos, a derivada dessa função é .
Logo, no ponto xo=1, temos f(1) =1 e também
Logo, a equação da reta tangente é .
Podemos escrever a equação acima na forma y=ax+b, basta efetuar os cálculos, veja abaixo:

Como se pode ver no gráfico abaixo, a tangente do ângulo que esta reta forma com o eixo Ox é igual a , que é o coeficiente angular da reta, e também é a derivada de no ponto xo=1.

III. REGRAS DE DERIVAÇÃO

Para simplificar esse trabalho do cálculo de derivadas, os matemáticos observaram que, se duas funções são deriváveis em um ponto xo, então a soma f+g, o produto por uma constante kf, o produto f.g e o quociente f/g são também deriváveis nesse ponto. Além disso, o que é a grande vantagem