Calculo Multivariavel

O Triedro de Frenet
MAT–2454 - C´lculo Diferencial e Integral II a Daniel Victor Tausk

Seja γ : I → I 3 uma curva de classe C 3 definida num intervalo I ⊂ I
R
R.
Assuma que γ ´ regular, ou seja, γ (t) = 0 para todo t ∈ I. Fixamos t0 ∈ I e e para cada t ∈ I definimos: t (1)

s = σ(t) =

γ (u) du. t0 Para t ≥ t0 , σ(t) ´ igual ao comprimento da curva γ restrita ao intervalo e [t0 , t] e para t < t0 , σ(t) ´ igual a menos o comprimento da curva γ restrita e ao intervalo [t, t0 ]. Pelo Teorema Fundamental do C´lculo (segunda vers˜o), a a temos: ds
= σ (t) = γ (t) . dt Escrevemos tamb´m r = γ(t), de modo que γ (t) = dr e portanto: e dt dr ds
.
= dt dt

(2)

Como γ (t) = 0 para todo t ∈ I, temos que σ (t) > 0 para todo t ∈ I; segue que σ : I → I ´ uma fun¸ao estritamente crescente e portanto podemos
R e c˜ considerar sua inversa σ −1 , que ´ uma fun¸ao de classe C 3 definida no ine c˜ tervalo σ(I). Em outras palavras, podemos reescrever a identidade s = σ(t) colocando t em fun¸ao de s, obtendo t = σ −1 (s); temos: c˜ ds dt = ds dt

−1

.

Substituindo t = σ −1 (s) em r = γ(t), obtemos uma express˜o para r em a fun¸ao do parˆmetro s; de modo mais preciso, consideramos a fun¸ao comc˜ a c˜ posta µ = γ ◦ σ −1 e obtemos uma curva r = µ(s). Note que:
(3)

µ (s) =

dr dt dr dr
=
= ds dt ds dt dr dt −1

,

ou seja, µ (s) = dr ´ o versor do vetor tangente dr a curva γ. Em pards e dt ` ticular µ (s) = 1. Dizemos que a curva µ ´ uma reparametriza¸ao por e c˜ comprimento de arco de γ.
1. Exemplo. Seja γ : I → I 3 definida por:
R
R
(4)

r = γ(t) = (R cos t, R sen t, 0),

onde R > 0 ´ uma constante fixada. Temos que γ parametriza uma cire cunferˆncia de raio R e centro na origem, contida no plano z = 0. Temos e 1

2

γ (t) = (−R sen t, R cos t, 0) e portanto γ (t) = R. Tomando t0 = 0 e usando (1) obtemos: t s = σ(t) =

R du = Rt.
0

Logo t =

s
R.

Substituindo