CAlculo II

O Terceiro Segmento
Dados dois segmentos de medidas a e b, queremos construir um terceiro segmento de medida c que guarda a seguinte relação homotética: c está para b assim como b está para
a. A construção do terceiro segmento não é tão fácil! Depende das relações métricas de um triângulo retângulo. Construa com régua e compasso o terceiro segmento c com a propriedade descrita acima. (Sugestão: a altura de um triângulo retângulo divide a hipotenusa em dois segmentos; o maior deles é o terceiro segmento procurado).
Suponha que queiramos construir o terceiro segmento da maneira mais elementar possível, qual seja; emendar os dois segmentos dados. (Gnômon). Será que existe alguma proporção que permita essa construção?
Encontremos uma proporção entre a e b de forma que o terceiro segmento c seja igual à soma c = a + b e ainda, de forma que c esteja para b assim como b estiver para a.
Digamos que b = λa; então, c/b = b/a se, e somente se 1 + λ = λ2. A única solução
1+ 5
. Denotamos esse número pela letra grega φ. positiva dessa equação é λ =
2
Imagens que guardam essa proporção em suas dimensões, por uma razão histórica, cultural ou fisiológica, têm um sabor estético singular.
Euclides, em sua obra “Os Elementos” denomina a razão φ de “média e extrema razão”.
No Renascimento, por influência de Kepler, ficou conhecida como razão áurea ou ainda, número de ouro, divina proporção. A denominação de Euclides é semanticamente vazia nesse contexto.
Surpreendentemente a proporção encontrada acima também permite uma subtração espetacular: (b - a) estará para a assim como a estiver para b, ou seja, a = λ(b - a).
Assim, pode-se crescer emendando pedaços sem perder a proporção intrínseca. Ainda, a subtração de dois segmentos que estão em proporção áurea também está em proporção áurea com o primeiro, assim como a soma está em proporção áurea com o segundo!
Podemos esticar e encolher segmentos com atividades aritméticas de adição e subtração.
A ubiqüidade