CALCULO II

1) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
a) f(x) = x² - 1 ; para x = 1 ; x = 0 ; x = a p/ a pertencente aos reais f’(x) = 2x para x = 1 f(1)= 1²-1=0 e f’(1)= 2.1=2
(y-y0)=m(x-x0) => (y-0)=2(x-1) => Y=2x-2 (reta tangente para x = 1)

Para x = 0 f(0)=0²-1= -1 e f’(x)= 2.0=0
(y-y0)=m(x-x0) => (y+1)=0(x-0) => Y=-1 (reta tangente para x = 0)

Para x = a f(a)= a²-1 = ±1 e f’(x)= 2.a=2a
(y-y0)=m(x-x0) => ((y-)a²-1)=2ª(x-a) => Y= -a²-2ax-1 (reta tangente para x=a)

Para a = -1
Y= -2x-2

Para a = 1
Y= 2x-2

b) f(x)= x²-3x+6 ; para x = -1; x = 2 f’(x) = 2x-3

para x = -1 f(-1) = (-1)²-3(-1)+6= 10 e f’(-1) =2(-1)-3= -5
(y-y0)=m(x-x0) => (y-10)= -5(x+1) => Y= -5x+5 (reta tangente para x=-1)

para x=2 f(2) = 2²-3(2)+6=4 e f’(2)= 2(2)-3= 1
(y-y0)=n(x-x0) => (y-4)=1(x-2) => Y= x+2 (reta tangente para x=2

c) f(x)= x(3x-5) ; para x=1/2 ; x= a; para a pertencente aos reais f(x) = 3x²-5x e f’(x)= 6x -5

para x=1/2 f(1/2)= 3(1/2)²-5(1/2) = -1,75 e f’(x)= 6(1/2)-5 = -2
(y-y0)=m(x-x0) => (y+1,75)=-2(x-1/2) => Y= -2x -0,75

para x=a f(a)= 3a²-5a e f’(x)= 6a-5
(y-y0)=m(x-x0) => (y-(3a²-5a))=(6a-5)(x-a) => Y= -3a²+6ax-5x (tangente para x=a)

3a²-5a= a(3a-5)=0 => a=0 e 3a-5=0 => a=5/3

para a=0
Y= -3(0)²+6(0)x-5x => Y=-5x

para a=5/3
Y= -3(5/3)²+6(5/3)x-5x => Y= 5x–8.333

2) Em cada um dos itens do exercício (1), determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada caso.

a) Mt.Mn = -1 => 2.Mn= -1 => Mn= -1/2
(y-y0)=m(x-x0) => (y-0)= -1/2(x-1) => Y= -1/2x+1/2 (reta normal para x=1)

Para x=0
Mt.Mn= -1 => 0.Mn= -1  A normal será o eixo Y.
Para x=a
Mt.Mn= -1 => Mn= -1/2a
(y-y0)=m(x-x0) => y-a²+1= -x/2 + a/2a => Y= (2a³-a-x)/2a (reta normal para x=a)

Para a=1

Para a=-1

b) Mt.Mn= -1 => Mn = 1/5