Calculo II

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

MauroSette
Leonardo Tocafundo

CALCULO II

Belo Horizonte
2012
Considere uma função Qd(P) dada pelos pontos (5,0) e (6,-100), encontre a função através dos mínimos quadráticos.
(5,0) (6,-100) { y = ax + b}
(5, 5a + b) , (6, 6a + b + 100)
D1 = (5a+b)^2 D2 = (6a + b + 100)^2
(df/da) = 2( 5a + b) (5) + 2(6a + b + 100) (6) 122a + 22b + 1200
(df/db) = 2( 5a + b) (1) + 2(6a + b + 100) (1) 22a + 4b + 200
122a + 22b + 1200
22a + 4b + 200 (/4) = 5,5a + b + 50, b=-5,5a -50
122a + 22( -5,5a - 50) + 1200 = 0
.a = -100 , b= -5,5(-100)-50 , b= 500
Qd(P) = -100P + 500

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro.
Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
Solução:
Inicialmente vejamos a ilustração gráfica do problema, a fim de facilitar a construção da função custo: O objetivo é minimizar o custo de instalação do cabo. Logo, precisamos construir a função custo, a qual, baseada na figura acima, é dada por:

Como x e (3000 – x) não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do problema) é o intervalo [0, 3.000], onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C. Para isso, iniciamos derivando C para encontrar seus pontos críticos:

Como o radicando e x são positivos, elevando os dois lados da equação ao quadrado, obtemos:

Como x deve ser positivo e 1.200 ϵ [0, 3.000], segue que é o único ponto crítico de C, no domínio de interesse. Vejamos se é ponto de mínimo relativo:

Logo o ponto crítico x = 1.200 é ponto de mínimo relativo de C. Para saber se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C neste ponto com os valores nos extremos