Calculo 11

Universidade de Brasília
Faculdade UnB Planaltina
Curso:
Ciências Naturais
Disciplina: Cálculo 1 - 2011-2
Professor: José Eduardo Castilho

Aula 4:
Máximos e
Mínimos de
Funções

1 Introdução
Na Aula 3, foi apresentado um problema, que consistia achar o lado de um retângulo cuja a soma dos lados dava 400 e tivesse a maior área possível. O problema consistia em encontrar o ponto máximo de uma parábola com concavidade voltada para baixo. (vértice). Muitos problemas práticos podem ser formulados em termos do máximo ou mínimo de uma função real. Nesta aula iremos mostrar que as derivadas de uma função podem determinar o seu comportamento. Iniciemos com algumas definições básicas: Definição 1 (Ponto de Máximo Local) Dizemos que um ponto x 0 é um ponto de máximo local de uma função f , se existe um intervalo [a ,b ] contendo x 0 e f (x ) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ [a ,b ].
De forma análoga temos a definição de um ponto de mímimo local.
Definição 2 (Ponto de Mínimo Local) Dizemos que um ponto x 0 é um ponto de mínimo local de uma função f , se existe um intervalo [a ,b ] contendo x 0 e f (x ) ≥ f (x 0 ) para todo x ∈ [a ,b ].
Observe, que estamos falando de valores num determinado intervalo, ou seja, um comportamento localizado. A figura abaixo mostra uma função com máximos é mínimos locais.

Observe que cada ponto satisfaz a definição de máximo ou mínimo no intervalo em destaque. Se consideramos o intervalo apresentado no gráfico [0, 7] o valor máximo ocorre em M AX 1 e o mínimo em
M I N 1 , neste caso chamamos estes valores de máximo absoluto e mínimo absoluto da função.
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Nem toda função possui um valor de máximo ou mínimo, por exemplo a função f (x ) = 1/x , Mas sobre certas condições podemos garantir que uma função tem máximo e mínimo no seu domínio. Basta que ela seja contínua e seu domínio seja um intervalo fechado. Para encontrar os valores de máximo e mínimo local, vamos apresentar alguns resultados que caracterizam estes