Cadeia de suprimentos

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni

Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla
Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail: [e-mail]

Reflexão " Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos, sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui, Deus te pedirá conta." Salomão 935 a. C

1

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1. Integral Dupla

∫∫ f (x, y )dxdy

∫ f (x, y )dx
1.

R

y = cte

Exercícios Resolvidos

y =0 y =0 2

∫ ∫ ydydx
2

2

x2

1 2x y | dx 2∫ 0 0 1 4 x dx 2∫ 0 1 1 52 ⋅ x | 2 5 0 1 (2)5 = 32 = 16 10 10 5
2.
2

∫ ∫ (x + 2 )dydx
0 0

1 2

∫ (x + 2 )y 0|
0 1 0

1

2

∫ (x + 2 )2dx
2 ∫ (x + 2 )dx
0 1

⎡ x2 ⎤1 2⎢ + 2 x⎥ | ⎣ 2 ⎦0 ⎛5⎞ 2⎜ ⎟ = 5 ⎝2⎠

Outra forma:

∫ ∫ (x + 2)dxdy
0 0 1 x2 + 2 x | dx ∫2 0 0 2

2 1

2

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2

∫ 2 dy
0

5

5 2 y| =5 2 0

Encontrou-se o mesmo resultado. 3.

∫ ∫ x 2 + y 2 dxdy
1 0 e

e y

1

∫
1 e 1 e

1 xy arctg | dy y y0 1

∫ y (arctg1 − arctg0 )dy ∫
1

π 1π dy = y 4 4

∫
1

e

e dy π = Lny | y 4 1

π
4

[ln e − ln 1] = π

4

2. Interpretação da Integral Dupla

∫∫ f (x, y )dxdy
Seja z = f ( x, y ) contínua na região R
Vi = f xi , y j ∆x i