Bobao

2 Distância de um ponto P a um plano _
Dado um ponto P e um plano _, a distˆancia entre P e _ ´e a menor das distˆancias d(P,Q), onde Q ´e um ponto de _. Como no caso da distˆancia de um ponto a uma reta, este m´ınimo ocorre quando o vetor PQ ´e ortogonal ao plano (ou seja, paralelo ao vetor normal do plano). Esta afirma¸c˜ao ´e obtida exatamente como no caso da distˆancia de um ponto a uma reta.
Para calcular a distˆancia de P a _ veremos dois m´etodos:
• M´etodo 1: Considere a reta r normal ao plano _ que cont´em P.
Calcule o ponto de interse¸c˜ao Q de _ e r. A distˆancia procurada ´e a distˆancia entre P e Q.
• M´etodo 2: Considere um ponto qualquer R de _ e o vetor normal n de _. Calcule o vetor w obtido como a proje¸c˜ao do vetor PR em n. O m´odulo de w ´e a distˆancia procurada.
• M´etodo 3: Usando o produto misto. Considere dois vetores v e w paralelos ao plano _ e um ponto Q do plano _. Considere o paralelep
´ıpedo _ com arestas v, w e PQ. O volume do paralelep´ıpedo _
´e
|PQ ・ (v × w)| = (´area base) ・ ([h]altura) = ||v × w|| ・ h.
4
P
R
d v h
A = (b)(h) b Figura 4: Distˆancia entre ponto e reta: usando produto vetorial
Temos que h ´e exatamente a distˆancia de P a _.
Exerc´ıcio 1. Com a nota¸c˜ao acima, que propriedade verifica o ponto T =
P + w?
Exemplo 2. Calcule a distˆancia do ponto P = (1, 0, 1) ao plano _ : x+2 y− z = 1.
Resposta: Usando o primeiro m´etodo, temos que r = (1 + t, 2t, 1 − t). A interse¸c˜ao da reta r e do plano _ ocorre quando t verifica (substituindo a equa¸c˜ao da reta na do plano)
(1 + t) + 2 (2 t) − (1 − t) = 1, isto ´e, t = 1/6. Logo Q = (7/6, 2/6, 5/6) e PQ = (1/6, 2/6,−1/6). A distˆancia ´e o m´odulo de PQ = (1/6, 2/6,−1/6), ou seja, 1/√6.
Usando o segundo m´etodo escolhemos o ponto R = (1, 0, 0) do plano
_, logo PR = (0, 0,−1). Consideremos um vetor unit´ario normal ao plano n = (1/√6, 2/√6,−1/√6). A proje¸c˜ao de PR em n ´e
(PR ・ n) n = 1/√6(1/√6, 2/√6,−1/√6) = (1/6, 2/6,−1/6).
Este