Beatriz

Fração contínua
Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.
Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos.
[editar]Frações Continuadas Simples
Frações continuadas simples são expressões da forma , em que todos os números são iguais a 1. Uma expressão da forma é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por e . Observe que o termo é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.
Exemplos:

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.
Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.
Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número na forma de fração continuada.
Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se . Logo, .
A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma . Com isso, obtém-se a expressão .
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, .
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: .
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].
É interessante observar que a representação