Aula Newton

M´etodo de Newton aula de 25 de mar¸co de 2008

Prof. M´arcia A. Gomes–Ruggiero

Considere a equa¸c˜ao f (x) = 0, f : D ⊆ ℜ → ℜ.

Supor ξ ∈ D, tal que: f (ξ) = 0 e f ′ (ξ) = 0.
Supor que a derivada de f est´a definida e ´e cont´ınua em um intervalo I que cont´em ξ.

Motiva¸c˜ao geom´etrica do m´etodo de Newton: dada a aproxima¸c˜ao xk , a nova aproxima¸c˜ao xk+1 ser´a o zero da reta tangente `a curva em (xk , f (xk )). x3 − 9*x + 3
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1

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x3 − 9*x + 3
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−5
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5

3.5

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x3 − 9*x + 3
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−5
1

1.5

2

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3

3

Convergˆencia do m´etodo de Newton
Sejam f , f ′ e f ′′ cont´ınuas num intervalo I que cont´em a raiz ξ de f . Supor que f ′ (ξ) = 0. Ent˜ao, existe um intervalo I ⊂ I contendo a raiz ξ tal que se x0 ∈ I, a sequˆencia xk gerada atrav´es da f´ormula xk+1 = xk − f (xk )/f ′ (xk ) convergir´a para a raiz.
Exemplo 1: f (x) = x3 − 9x + 3 xk f (xk ) f ′ (xk )
3
3
18
2.833333333333334 2.453703703703738e-001 1.508333333333334e+001
2.817065684468999 2.245104384343222e-003 1.480757721183837e+001
2.816914065851569 1.942743637073363e-007 1.480501456317726e+001
2.816914052729369
0
Exemplo 2: f ′ (x0 ) ≈ 0. f (x) = x3 − 9 ∗ x + 3 x0 = 1.8 f (x0 ) = −7.368 f ′ (x0 ) = 0.72. x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ) ⇒ x1 = 1.8 + 10.2333 ⇒ x1 = 12.0333 x1 = 12.0333 f (x1 ) = 1637.14 f ′ (x1 ) = 425.4033. x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 ) ⇒ x2 = 12.0333 − 3.848 ⇒ x2 = 8.1849

4

x3 − 9*x + 3
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30
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1

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3

3.5

4

4.5

5

O fato de ocorrer f ′ (xk ) ≈ 0 n˜ao implica que a sequˆencia gerada pelo m´etodo de Newton ser´a divergente.
No exemplo anterior f (x) = x3 − 9x + 3 com x0 = 1.8, se continuarmos a executar as itera¸c˜oes do m´etodo, teremos: xk f (xk ) f ′ (xk )
1.800000000000000 -7.367999999999999e+000 7.200000000000006e-001
12.03333333333332 1.637140037037033e+003 4.254033333333326e+002