Notas de Cálculo I (aula 01-Projeto Newton)

C´ alculo I

Data: 16/03/2015

Aula 01 - Desigualdades em R
Objetivos da Aula:

Representar geometricamente o conjunto R dos n´ umeros reais;
Definir uma ordem em R e apresentar algumas de suas propriedades;
Definir valor absoluto de um n´ umero real e apresentar algumas de suas propriedades.

Palavras-chaves: Desigualdade em R, Intervalo, Valor absoluto, Vizinhan¸ca de um ponto.

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A Reta Real

Sejam 0 um ponto fixado, que ser´a chamado de origem, e A um ponto diferente de 0. A reta
0A ser´a chamada de reta real ou eixo real. O segmento 0A ser´a a unidade de medida deste sistema, isto ´e, OA = 1.
O

A

Reta real

A semirreta que cont´em A chama-se a semirreta positiva e a que n˜ao cont´em A, negativa.
A todo ponto P deste eixo associamos um n´ umero real - chamado a abscissa ou a coordenada de P .
O

A

P x x´ e abscissa de P

Esta associa¸c˜ao ´e feita como segue:
Se P coincidir com a origem, ent˜ao a abscissa de P ´e zero (0). Caso contr´ario, comparamos os comprimentos dos segmentos OA e OP , tendo como resultado duas situa¸c˜oes poss´ıveis:
(I) OA cabe um n´ umero exato de vezes em OP :
Neste caso, 0P = n.OA para algum n´ umero natural n. Ent˜ao a abscissa do ponto P ´e n ou o n´ umero negativo −n, conforme P esteja a` direita ou `a esquerda da origem, respectivamente.

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Profa . Nazar´ e Bezerra

(II) OA n˜ao cabe um n´ umero exato de vezes em OP :
Neste caso, podemos ter ainda duas novas situa¸co˜es:
(II-a) Existe um segmento OA , tal que 0A = n.OA e 0P = m.OA , com m e n naturais.
Diz-se que os segmentos OA e OP s˜ao comensur´aveis e a abscissa de P ´e m ou − m
, conforme n n
P esteja, respectivamente, a` direita ou `a esquerda da origem.
(II-b) N˜ao existe segmento algum OA como descrito em (II-a):
Diz-se que 0A e 0P s˜ao segmentos incomensur´aveis. Quando isto ocorre criamos um n´ umero x, que chamamos de irracional e dizemos que x ´e a abscissa do ponto P .
O conjunto formado por 0 (zero) e pelas abscissas de todos os pontos P da reta