AULA 5 PLANO

GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 5
Prof. Baggio

Plano
Introdução
Nas aulas anteriores consideramos o ponto no espaço e obtivemos algumas propriedades fundamentais do ponto e da reta em três dimensões. Agora iniciaremos o estudo das equações de figuras no espaço. Nas aulas subsequentes veremos que em geral, uma só equação representa uma superfície. Entretanto, uma curva no espaço é representada analiticamente por duas equações retangulares independentes.
Começaremos com a mais simples de todas as superfícies, o plano.

Plano
Equação geral do plano.
Na geometria elementar define-se uma reta como sendo perpendicular a um plano se for perpendicular a cada reta no plano traçada por seu pé. Como definimos que o ângulo entre quaisquer duas retas orientadas que se cruzam, definiremos agora que uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se é perpendicular cada reta no referido plano, independentemente de que a reta no plano passe ou não pelo pé da perpendicular. Existe inúmeras retas perpendiculares a qualquer plano; cada uma de tais retas é denominada uma normal ao plano.

Plano
Seja P1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 qualquer ponto fixo e r qualquer reta fixa no espaço; Sejam (a,b,c) os parâmetros diretores de r.
Encontraremos a equação do único plano que passa pelo ponto P1 e tendo a reta r como uma normal.
Seja P(𝑥, 𝑦, 𝑧) qualquer ponto, distinto de P1 sobre o plano.
Seja s a reta que passa pelos pontos P1 e P e, portanto, sobre o plano. Então r e s são perpendiculares. r (ax+by+c=0)

z
P1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

s

P(𝑥, 𝑦, 𝑧)

O x y

Plano
Os parâmetros diretores de uma reta que passa por dois pontos P1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 e P(𝑥, 𝑦, 𝑧) são dados por:
(𝑥 − 𝑥1 ) + (𝑦−𝑦1 ) + (𝑧−z1 )
A equação da reta r: ax+by+c = 0, logo, a 𝑥 − 𝑥1 + b(𝑦 − 𝑦1 ) + c(z − z1 ) = 0
𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + (𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 ) + (cz − cz1 ) = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + cz − (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + cz1 ) = 0
E expressão entre parênteses é uma constante então podemos substituir pela constante d.

𝒂𝒙 + b𝒚 + cz + 𝒅 = 𝟎

Plano