Aula 1 Propriedades dos N meros Reais

Propriedades dos
Números Reais
Cálculo Diferencial e Integral I
Professor Marcelo Tomanik

Os números organizam-se em conjuntos:
1) Conjunto dos números naturais:

ℕ = 0,1,2,3,4,5,6,7, . . .
2) Conjunto dos números inteiros:

ℤ = . . . , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, . . .
3) Conjunto dos números racionais:
Todos os números que podem ser escritos da forma

𝑎
ℚ = |𝑎 ∈ ℤ; 𝑏 ∈ ℤ∗
𝑏

𝑎
𝑏

São racionais:
Todos os números inteiros;
Todas as frações;
Todos os decimais exatos;

Todas as dízimas periódicas.

1
0,333. . . =
3
1241
1,2535353. . . =
990

Números irracionais
São números que não possuem representação fracionária

𝜋 = 3,141592654. . .
2 = 1,414213562. . .

𝑒 = 2,718281828. . .

Números Reais
Conjunto formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

ℝ=ℚ∪𝕀

Existem infinitos números que não estão no conjunto dos números reais: Conjunto dos números complexos

Conjunto dos números hiper-reais

Conjunto dos números hipercomplexos

Em nosso curso trabalharemos apenas no conjunto dos números reais !

Propriedades dos números reais
O conjunto dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais.
Dados quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , estão definidos a soma 𝑥 + 𝑦 e o produto 𝑥. 𝑦, temos que: 1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ,a soma é comutativa
2)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ,a soma é associativa
3) 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥 ,o produto é comutativo
4) 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 𝑥. 𝑦 . 𝑧 ,o produto é associativo
5) 𝑥. 𝑦 + 𝑧 = 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑧 ,o produto é associativo em relação à soma

6) O número 0 é o elemento neutro da soma

7) 0 número 1 é o elemento neutro do produto
8) Todo 𝑥 possui um simétrico −𝑥 , tal que 𝑥 + −𝑥 = 0
1
9) Todo 𝑥 ≠ 0 possui um inverso, representado por ou 𝑥 −1 tal que 𝑥. 𝑥 −1 = 1
𝑥

Exercícios
1) Qual valor da expressão

?

2) Com 576 quadradinhos, Junekinho pode construir um quadrado maior, quantas linhas há no quadrado maior ?

3) Calcule os valores de x e y